Como vimos na "Introdução à Econometria", esta técnica pode, inicialmente, ser dividida em dois tipos de modelos: "Regressão Linear Simples" e "Regressão Linear Múltipla".
Aqui, nós vamos falar primeiramente sobre o de regressão simples.
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Modelo de Regressão Linear Simples
De forma genérica, o objetivo do trabalho econométrico é explicar os diferente valores assumidos por uma variável (chamada de variável endógena ou dependente) através de uma outra variável (chamada de variável exógena ou independente).
Normalmente, os econométricos denominam a “explicação” de uma variável endógena “y” por uma exógena “x” de regressão simples (e por tabela, o modelo de modelo de regressão simples). Entretanto, é evidente que há vários exemplos no mundo real, onde uma variável endógena é “explicada” não apenas por uma, mas por várias variáveis exógenas, dando assim sentido à um modelo de regressão múltiplo.
Divisão do Capítulo
Especificação;
Estimativa de β;
Avaliação do método de Estimativa;
Teste de Hipóteses;
Projeção.
I. Especificação
O ponto-de-partida de uma análise econométrica é a relação econômica entre uma variável exógena “x” e uma variável endógena “y”.
y = f(x)
Para ir deste modelo econômico para um modelo econométrico, precisa-se escrevê-lo na forma linear, adicionar-lhe o index “t” e, por fim, adicionar o termo de erro. Assim, tem-se:
yt = α + βt + ut
Para que este modelo econométrico possa ser usado para um teste ou para a quantificação do modelo econômico-base, precisa-se postar algumas premissas. Então, há as premissas “A”, “B” e “C” sobre o modelo econométrico.
As premissas “A” impõem ao modelo yt = α + βt + ut, que este retrate de forma correta a relação funcional entre as variáveis no modelo econômico-base.
A1. Em yt = α + βt + ut não falta nenhuma variável exógena relevante, e a variável usada “xt” não é irrelevante;
A2. A real relação entre “xt” e “yt” é linear;
A3. Os parâmetros “α” e “β” são constantes para todas as observações “T” (xt , yt).
As premissas “B” tratam do termo de erro, ut.
B1. E(ut) = 0, para t = 1, 2,...,T;
B2. Var (ut) = σ2, para t = 1, 2,...,T;
B3. Cov (ut , us) = 0, para todo t ≠ s, assim como, para t = 1, 2,..., T; s = 1, 2,...,T
B4. ut ~ N (E(ut) , Var (ut)).
As premissas “C” tratam da variável exógena “x”.
C1. A variável exógena “x” não é uma variável aleatória, mas sim, pode ser controlada como em um experimento;
C2. Sxx > 0.
Um dos métodos de estimativa mais importantes da literatura empírica é o método do menor quadrado (least squares estimators, em inglês). Este método indica os valores estimados “^α” e “^β”, quando a soma dos quadrados dos resíduos for a menor possível. Ou seja, O melhor valor estimado para “β” é aquele que se dá quando o erro for o menor possível. Por exemplo, tem-se um gráfico bidimensional cartesiano, com várias observações (vários pontos x , y). Destas observações pode-se ver que há uma relação linear. Para descobrir qual é o “β” (ou inclinação) desta função, que melhor retrate a realidade, tenta-se desenhar uma linha por entre os pontos de observação, sendo que a soma das distâncias entre esta linha e cada ponto seja a menor possível. Eleva-se esta distância ao quadrado, a fim de eliminar a parte negativa, já que se teria observação acima e abaixo da linha.
II. Estimativa de um ponto
Um dos métodos de estimativa mais importantes da literatura empírica é o método do menor quadrado (least squares estimators, em inglês). Este método indica os valores estimados “^α” e “^β”, quando a soma dos quadrados dos resíduos for a menor possível. Ou seja, O melhor valor estimado para “β” é aquele que se dá quando o erro for o menor possível. Por exemplo, tem-se um gráfico bidimensional cartesiano, com várias observações (vários pontos x , y). Destas observações pode-se ver que há uma relação linear. Para descobrir qual é o “β” (ou inclinação) desta função, que melhor retrate a realidade, tenta-se desenhar uma linha por entre os pontos de observação, sendo que a soma das distâncias entre esta linha e cada ponto seja a menor possível. Eleva-se esta distância ao quadrado, a fim de eliminar a parte negativa, já que se teria observação acima e abaixo da linha.
No gráfico acima, temos duas curvas ("R" e "^R"), representando a curva de regressão real (R), a qual não conhecemos; e a curva de regressão estimada (^R). A idéia aqui é que a curva de regressão que melhor espelha a realidade é aquela onde a soma dos erros "ui" for a menor possível. Este método apresentado é o método do menor valor.
Entretanto, o método mais usado pelos econométricos é o método do menor quadrado. Este método pode ser identificado no gráfico abaixo:
A principal diferença entre os métodos do "menor valor" e do "menor quadrado" é que o método do "menor quadrado" escolhe uma curva de regressão que mais evita grandes resíduos, dado o fato que este método faria com que grandes resíduos fossem mais que proporcionalmente grandes, por causa do quadrado. Assim, a soma dos quadrados dos resíduos também seria mais que proporcionalmente aumentada.
Entretanto, o método mais usado pelos econométricos é o método do menor quadrado. Este método pode ser identificado no gráfico abaixo:
A principal diferença entre os métodos do "menor valor" e do "menor quadrado" é que o método do "menor quadrado" escolhe uma curva de regressão que mais evita grandes resíduos, dado o fato que este método faria com que grandes resíduos fossem mais que proporcionalmente grandes, por causa do quadrado. Assim, a soma dos quadrados dos resíduos também seria mais que proporcionalmente aumentada.